微积分难点解析（一）隐函数求导

本章讨论要点：

当我们在进入隐函数求导这一章节时，我们会遇到一种全新的操作方式：

$$ \underbrace{\frac{d}{dx}(x^2) = 2x}_{\text{变量匹配：直接求导}} \qquad \qquad \underbrace{\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \cdot y'}_{\text{变量不同：链式法则}} $$

很多参考书由于侧重计算，仅仅采用「在方程两边同时对 $x$ 求导」的提示便草草略过，本文将就此展开讨论。

一、显函数与隐函数

在一些函数中，变量 $y$ 由一个只含变量 $x$ 的式子表示。

显函数： $y = x + 1$ , $y = 3x$ , $y = 2x^2 + 3x + 7$ , $y = \tan x$

这些函数中，$y$ 与 $x$ 的关系是明确的，我们称 $y$ 是 $x$ 的显函数。

隐函数： $x^2 + y^2 = 1$, $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$, $x^3 + y^3 - 3xy = 1$

在这些函数中，我们很难甚至无法用 $x$ 表示 $y$，这些函数被称为隐函数。

严格来说，对于 $x^2+y^2=1$ ，它是一个「由方程 $F(x,y)=0$ 所确定的函数关系」，而不是一个函数。因为根据函数定义，一个 $x$ 对应不能两个 $y$ (圆的方程显然违背了这一点)。

虽然圆在整体上不是函数，但在局部范围内（比如上半圆），$y$ 确实受到 $x$ 的制约，这种由方程「暗中」确定的函数关系，被称为隐函数。

二、隐函数的求导法则

面对一个像 $x^2 + y^2 = 1$ 的方程，我们想求 $\frac{dy}{dx}$，求导方式为：

$$ \underbrace{\frac{d}{dx}(x^2) = 2x}_{\text{变量匹配：直接求导}} \qquad \qquad \underbrace{\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \cdot y'}_{\text{变量不同：链式法则}} $$

最终求导结果为：$2x + 2y \cdot y' = 0$

可是，我们为什么能同时对等式两边进行求导？为什么两者的求导方式不一样？

三、隐函数与复合函数

要回答刚才的合法性问题，我们需要先分析这个函数：

$$ x^2 + y^2 = 1 $$

当我们说点 $(x,y)$ 在圆 $x^2 + y^2 = 1$ 上运动时，当我们变换坐标的 $x$ 值时，坐标的 $y$ 值如何决定？这里有一个显然的事实：$y$ 的取值受到 $x$ 取值的影响，这意味着 $y$ 的值并不是随意选取的，而是随着 $x$ 的变化而变化的。换句话说，局部范围内，$y$ 是 $x$ 的函数。

为了解释这一点，我们先暂时抛开 $y$ 这个面具，给它一个新的名字：「$g(x)$」。此时，原方程就变成了一个关于 $x$ 的恒等式：

$$ x^2 + [g(x)]^2 = 1 $$

Question： 此处为什么一定是恒等式？

直观感受上是：我们讨论的前提是点 $(x, y)$ 始终在曲线上运动。

当我们把 $y$ 看作 $g(x)$ 时，我们实际上是限制了 $y$ 的取值必须满足这个方程。既然点在曲线上，那么把坐标代入方程，等式左边的计算结果就永远等于右边的常数 1。

既然左右两边始终相等（即为恒等式），那么它们随 $x$ 的变化率（导数）也自然必须相等（因为如果变化率不相等，那就没办法成为「恒等式」，就像两个函数，如果变化率不相等，那他们的数值有可能处处相等吗？）。

既然等号左右两边始终相等，那么，他们随着 $x$ 的变化率也必然保持一致，这正是我们可以「两边同时求导」的依据。

更进一步，由于链式法则：

$$ [g(x)^2]' = 2g(x) \cdot g'(x) $$

这时候我们就能解释为什么 $(y^2)' = 2y \cdot y'$ 了！它的核心思想是「把 $y$ 视为 $x$ 的函数，然后利用链式法则」。

四、严谨的数学分析：

后续内容作者正在烧脑的思考怎么写比较容易被大家所接受，暂时先放一些定理，作者将尽快完成

Ⅰ.或隐函数存在定理：

警告：此后的证明前置知识：等高线/全微分/梯度。笔者将尝试尽可能给出讲解，但是受限于水平，可能会有纰漏，希望各位谅解。

在前文中，我们通过“两边求导”的算术技巧得到了结果。但数学的严谨性要求我们不能只满足于“算出了什么”，而必须理解“意味着什么”。

要真正从底层理解隐函数求导，我们需要引入三个更为本质的数学工具：等高线（Level Set）、全微分（Total Differential） 和 梯度（Gradient）。

1. 隐函数存在定理 1：由方程 $F(x,y)=0$ 确定的一元隐函数 $y=f(x)$

设函数 $F(x,y)$ 在点 $P(x_0, y_0)$ 的某一邻域内具有连续偏导数，且 $F(x_0, y_0) = 0$，$F_y(x_0, y_0) \neq 0$，则方程 $F(x,y)=0$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 $y=f(x)$，它满足条件 $y_0 = f(x_0)$，并有：

$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} $$

2. 隐函数存在定理 2：由方程 $F(x,y,z)=0$ 确定的二元隐函数 $z=f(x,y)$

设函数 $F(x,y,z)$ 在点 $P(x_0, y_0, z_0)$ 的某一邻域内具有连续偏导数，且 $F(x_0, y_0, z_0) = 0$，$F_z(x_0, y_0, z_0) \neq 0$，则方程 $F(x,y,z)=0$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 $z=f(x,y)$，它满足条件 $z_0 = f(x_0, y_0)$，并有：

$$ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} \qquad , \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} $$